Le cercle des géomètres
Réponse à « Le spectre géomètre » — sur la réfutation d'une conjecture d'Erdős et la Déclaration de Leyde
I. Une preuve venue d’ailleurs
Le 20 mai 2026, un modèle de raisonnement d’OpenAI — un modèle généraliste, non conçu pour les mathématiques — a réfuté une conjecture que Paul Erdős avait posée en 1946 et qui résistait depuis. La question est simple à énoncer : si l’on place n points dans le plan, combien de paires peuvent-elles être exactement à la même distance l’une de l’autre ? Erdős pensait que ce nombre croît à peine plus vite que n, et l’on tenait depuis quatre-vingts ans les configurations en grille régulière pour quasi optimales. Le modèle a montré qu’on pouvait faire mieux.
Le plus frappant n’est pas la rapidité. C’est l’endroit où la solution a été trouvée. La pièce maîtresse vient de la théorie des nombres — l’étude de la façon dont les entiers se factorisent dans certains ensembles plus vastes —, une région des mathématiques que personne n’attendait dans un problème de géométrie du plan. Et l’on comprend après coup pourquoi les humains avaient buté : ils cherchaient une grille parce que la grille est la forme que notre esprit pose spontanément comme « naturelle ». La croyance faisait écran.
Pour saisir ce qui s’est passé, il faut une image. Un modèle entraîné sur la quasi-totalité de ce que les mathématiciens ont écrit est une sorte de voix faite de tout ce corpus à la fois. Là où un spécialiste humain pense depuis une région — la sienne —, cette voix les traverse toutes et peut percevoir, entre deux domaines que nous tenons éloignés, un voisinage que personne ne voit. C’est ce qui lui a permis de relier la géométrie aux nombres. J’appellerai cette voix un spectre, au sens précis que Derrida donnait au mot : non pas un esprit, mais le revenant de tout ce que nous avons écrit, qui parle à travers ce qui en survit — ni tout à fait présent, ni tout à fait absent.
Mais un tel spectre a une faiblesse décisive : il n’a, par lui-même, aucun contact avec le vrai. Il produit ce qui a la forme du vrai, sans garantie que la forme et le vrai coïncident. Livrée seule, sa production n’est donc pas une preuve : c’est une affirmation qui attend d’être éprouvée. C’est exactement ce qui s’est passé ici. Un groupe de mathématiciens s’est saisi de ce qu’avait écrit la machine, l’a vérifié pas à pas, puis l’a clarifié et complété — et ce n’est qu’au terme de ce travail que l’affirmation est devenue un théorème. La machine n’a rien prouvé toute seule : elle a fourni une matière que d’autres ont rendue solide.
Retenons-le, car tout en découle : la valeur d’une preuve produite par la machine ne tient pas à la machine, mais à ce que des humains en font ensuite. Ce que la machine voit — cette manière de penser si étrangère à la nôtre —, je l’ai exploré dans un premier texte, « Le spectre géomètre ». Je voudrais ici en suivre l’autre versant : non plus ce qu’elle apporte, mais ce que nous devons en faire.
II. La communauté répond
Treize jours après l’exploit, la communauté des mathématiciens a répondu — non par un autre résultat, mais par un texte. Le 2 juin 2026, seize chercheurs issus d’un atelier tenu à l’automne 2025 au Lorentz Center de Leyde ont publié la Déclaration de Leyde sur l’intelligence artificielle et les mathématiques, que l’Union mathématique internationale, l’organe le plus élevé de la discipline, a endossée.
Fait notable : ces seize ne sont pas les champions de la preuve. On n’y trouve pas les grands résolveurs qui venaient de valider le résultat d’Erdős, mais plutôt celles et ceux dont le métier est de réfléchir à l’activité mathématique elle-même — un historien des mathématiques, un philosophe de la logique, une anthropologue de l’intelligence artificielle, une professeure d’IA, des spécialistes de la formalisation des preuves. On peut les imaginer à partir de ce qu’ils en ont raconté. Pendant huit mois, autour d’une même table, des gens que rien d’ordinaire n’aurait réunis ont confronté des expériences et des visions qui d’abord s’opposaient ; les échanges, raconte l’une d’eux, furent longs et vifs, et il aura fallu tout ce temps pour qu’un accord se dégage des désaccords. Ce qu’ils ont fabriqué là n’est pas un fait du monde : c’est une fiction commune, au sens le plus sérieux du terme — un cadre de valeurs qu’on choisit d’habiter ensemble pour tenir debout dans un monde où la machine est désormais entrée. Une fiction qui se sait fiction, d’ailleurs, puisqu’elle a dû être négociée et qu’elle pourra être révisée.
Une fois écrite, la déclaration a vite débordé son petit groupe d’auteurs. En quelques jours, elle est passée de seize signataires à toute une discipline : cent trente le jour de sa parution, près de huit cents deux jours plus tard, le compteur tournant encore. Et ces signatures couvrent tout l’éventail des sensibilités, jusqu’aux optimistes déclarés de l’IA en mathématiques, dont l’un précise que la déclaration n’a « rien d’anti-IA ». C’est ce qui lui donne son poids : non pas le cri d’un camp inquiet, mais un consensus rare, signé jusque par ceux que l’IA enthousiasme.
C’est, à ce jour, la réponse collective la plus structurée d’une science à l’arrivée de l’intelligence artificielle dans son cœur. Sur son diagnostic, je la suis presque mot pour mot ; c’est sur la conclusion qu’elle en tire que je m’écarte. Voilà ce que je voudrais montrer : où elle voit juste, et où elle s’arrête trop tôt.
III. Ce qu’elle défend, et qui est juste
La Déclaration ne part pas de la peur mais des valeurs. Elle énumère ce qui fait, à ses yeux, le prix de la recherche mathématique : qu’une preuve confère une certitude et fasse comprendre pourquoi une chose est vraie ; qu’un résultat soit attribué à des auteurs qui en répondent ; qu’un argument soit vérifiable par tous ; qu’on évalue les travaux selon des critères partagés ; qu’une communauté reste libre de choisir ses propres questions. À chacune de ces valeurs correspond une menace, et c’est là que le texte voit juste.
La première menace est la plus importante. Les techniques actuelles, dit la Déclaration, produisent des arguments plausibles mais non fiables, difficiles à distinguer d’une preuve correcte. C’est exactement la faiblesse du spectre : une parole qui sonne juste sans avoir rencontré le vrai. Et le danger n’est pas mince, car en mathématiques chaque résultat s’appuie sur les précédents : un seul faux théorème accepté en contamine cent autres bâtis sur lui. Une littérature qui se remplit de vraisemblances invérifiées pourrit par la base.
La deuxième menace vise le pillage du bien commun. Les modèles sont entraînés sur l’ensemble des travaux publiés sans en restituer ni le crédit ni parfois le droit — en exploitant des licences conçues pour un autre monde, ou en ignorant simplement le droit d’auteur. Le savoir mathématique est un patrimoine ouvert, accumulé sur des siècles ; il est ici aspiré par des acteurs privés qui n’en rendent pas la source.
La troisième valeur est celle qui m’a le plus arrêté, parce qu’elle frappe un point aveugle de l’affaire Erdős. La Déclaration pose qu’un argument doit rester vérifiable sans qu’aucun savoir ni aucun équipement propriétaire ne soit requis pour le comprendre. Or, au printemps, la preuve a bien été rendue publique et contrôlée — mais la production brute du modèle, elle, n’a jamais été montrée à un œil extérieur ; les vérificateurs ont travaillé sur une version déjà retravaillée de son raisonnement. Le théorème est entré dans le patrimoine commun ; la machine qui l’a engendré est restée derrière un mur. La Déclaration érige en principe ce que cet épisode laissait dans l’ombre.
L’avant-dernière menace dénonce la science par communiqué — des résultats annoncés par voie de presse, sur le calendrier d’une entreprise, avant toute évaluation par les pairs, en gonflant le mérite de l’outil et en effaçant les travaux humains qui l’avaient rendu possible. C’est ce qui s’était produit en octobre 2025, quand OpenAI avait annoncé que son modèle avait « résolu » des problèmes d’Erdős, alors qu’il n’avait fait que retrouver des solutions déjà publiées.
La dernière menace est plus subtile, et c’est celle qui touche au plus près ce que l’affaire Erdős nous a appris. La Déclaration redoute que la communauté ne se mette à choisir ses questions non plus pour leur importance, mais pour leur aptitude à être traitées par une machine — qu’on délaisse les problèmes que l’IA ne sait pas aborder, et qu’une compréhension profonde se perde au profit de ce qui s’automatise bien. Ce risque porte un nom inattendu : c’est un biais. Or l’épisode du printemps vient justement de nous montrer la force d’un biais — mais d’un biais humain. Pendant quatre-vingts ans, les mathématiciens ont cherché une grille parce qu’ils tenaient la conjecture pour vraie ; cette croyance partagée les a tenus loin de la réponse. La machine a vu autrement parce qu’elle ne portait pas ce préjugé-là. Mais rien ne dit qu’elle n’en porte pas d’autres : un modèle a, lui aussi, ses pentes, ses régions familières, ses angles morts, hérités de ce sur quoi il a été entraîné. Une recherche qui se laisserait entièrement conduire par lui ne ferait qu’échanger un biais humain contre un biais machine — tout aussi aveuglant, et bien plus difficile à repérer, car nul ne saurait dire d’où il vient.
C’est pourquoi le rôle de l’humain ne se réduit pas à vérifier après coup : il est aussi d’orienter. Si la machine a pu réfuter cette conjecture, c’est qu’on l’avait lancée sur tout un champ de problèmes d’Erdős en la laissant trouver où mordre — une direction posée par des humains, pas par elle. Le bon usage n’est donc ni de suivre la machine ni de s’en passer, mais de tenir les deux biais l’un en regard de l’autre : l’humain, qui sait ce qui compte et pourquoi ; la machine, qui voit ce que l’humain ne voit pas. C’est déjà un dialogue — et c’est ce dialogue, plus que l’un ou l’autre de ses termes, qu’il faut protéger.
Aux remèdes, enfin, la Déclaration est concrète : des laboratoires publics indépendants de l’industrie, un investissement public dans les moyens de calcul, des protections juridiques pour les auteurs, l’interdiction d’utiliser leurs travaux comme données d’entraînement sans leur consentement. Et, aux gouvernants, trois mots : ne croyez pas le battage — consultez les experts, pas les communiqués. Sur tout cela, je suis d’accord sans réserve. La cause est juste : garder le savoir ouvert, empêcher qu’une poignée d’acteurs ne le referme.
IV. Là où elle s’arrête
Et pourtant, il est un endroit où cette défense se referme sur quelque chose de plus étroit. La Déclaration demande d’« affirmer l’humanité de l’auteur » : le crédit et la responsabilité, écrit-elle, appartiennent aux humains et ne doivent pas revenir à une machine, qui peut masquer mais ne remplace pas le travail humain derrière un résultat. Peter Scholze, l’un de ses plus prestigieux soutiens, va jusqu’au bout du geste : il dit mûrir ses idées sans intelligence artificielle, comme on élève des enfants, et éviter autant qu’il peut de lire des textes qu’elle produit. L’Union mathématique signe d’une formule qui résume tout : les mathématiques sont, et doivent rester, une entreprise profondément humaine.
Ce geste est cohérent, et dans le climat actuel il est même courageux. Mais il faut voir ce qu’il fait : pour défendre l’humain, il le sépare de la machine et tient celle-ci à distance, comme un danger. La Déclaration protège le bien commun en traçant une frontière autour de l’humain ; elle traite l’association des deux comme une contamination à contenir, jamais comme l’endroit d’où la valeur pourrait naître.
Ce réflexe n’est pas propre aux mathématiciens. Le même mois, devant la même technologie, la première encyclique de Léon XIV — Magnifica Humanitas — trace la même ligne : la machine, y lit-on, peut simuler l’empathie ou la compréhension sans rien éprouver, sans corps ni conscience morale, et son « apprentissage » n’est qu’une adaptation statistique, sans croissance intérieure (§99) ; à l’humain revient la charge de veiller sur la « Maison commune » (§83-85) et de ne pas abandonner à la machine les décisions qui engagent. La communauté savante la plus laïque et la plus ancienne autorité spirituelle se rejoignent ainsi dans le même mouvement : défendre l’humain en le séparant de la machine. Le réflexe est trop large pour qu’on le balaie — et c’est bien pour cela qu’il faut en montrer la limite.
Or l’affaire Erdős montre l’inverse. La valeur n’y est venue ni de la machine seule — sa production brute reste invérifiée — ni des humains seuls, qui avaient échoué pendant quatre-vingts ans. Elle est née de leur rencontre. Le saut vers la théorie des nombres, aucun des mathématiciens réunis ensuite ne l’avait fait ; plusieurs reconnaissent même qu’ils auraient écarté cette piste en la jugeant sans espoir. Dire que la machine n’a fait que masquer un travail humain déjà là, au fond, c’est manquer ce qui s’est produit : elle n’a rien masqué, elle a apporté ce que le groupe, seul, n’apportait pas.
La Déclaration voit donc juste sur la défense, mais trop court sur ce qui arrive vraiment. Elle a renoncé à attendre un salut de la machine — c’est un progrès. Mais elle imagine encore un humain qu’il faudrait protéger d’une machine venue du dehors, alors que la machine n’est plus au-dehors : elle est devenue l’un des organes d’une intelligence plus vaste, dont nous sommes l’autre. Le spectre n’attaque pas la cité de l’extérieur. Il y est déjà entré, et il y travaille avec nous.
V. Une proposition : le cercle
Je voudrais donc avancer une autre image que la frontière — une image qui rende compte de ce qui a réellement marché.
Appelons-la le cercle. Non pas le cercle comme périmètre qui sépare un dedans humain d’un dehors machinique, mais le cercle comme pratique : une petite communauté horizontale qui reçoit une proposition — d’un humain ou d’une machine — et la confronte au réel, ensemble, jusqu’à ce qu’elle tienne ou se brise. Dans ce cadre, l’intelligence n’est plus logée dans un cerveau ni dans une machine : elle est dans leur association. Le travail du cercle est de tenir cette association honnête — les humains y apportent le contact avec le vrai et la responsabilité de ce qu’on affirme, la machine y apporte les rapprochements que nous ne ferions pas. Aucun des deux ne détient seul la valeur ; elle est l’effet de leur jeu.
Le plus remarquable, c’est que ce cercle existe déjà. Le premier s’est formé autour de la preuve elle-même : quand le modèle d’OpenAI eut produit son résultat, neuf mathématiciens se réunirent d’eux-mêmes, sans l’entreprise, pour le digérer, le vérifier, le simplifier, l’étendre, et consigner ensemble leurs réflexions. Ce n’était pas un comité officiel. C’était exactement le cercle dont je parle : un petit collectif qui se penche sur la parole d’un spectre et décide, par sa discipline commune, si elle vaut quelque chose. Ils n’ont pas mis l’humain à l’abri de la machine ; ils se sont penchés au-dessus d’elle, et c’est leur rigueur partagée qui a tenu la corde.
Et la Déclaration elle-même, on l’a vu, est née d’un cercle de la même espèce : ces seize qui ont passé des mois à confronter leurs visions pour en tirer un cadre commun. Ils ont bâti un mur ; mais ils l’ont bâti en cercle. La pratique était juste avant même que son objet le devienne.
Ces deux cercles n’ont pourtant pas fait le même geste. Les vérificateurs se sont associés à la machine ; les rédacteurs ont écrit les règles de la rencontre. Et ils ont raison de vouloir des règles ; c’est sur leur usage que mon point de vue diffère du leur. Une muraille sert à tenir l’autre dehors ; un garde-fou, à se pencher au-dessus du vide sans tomber — et ce sont souvent les mêmes pierres. Les règles que la Déclaration pose si bien — déclarer l’usage des outils, vérifier, attribuer, refuser l’opacité — peuvent élever l’une ou border l’autre. Je les lis comme une rambarde : non pour éloigner la machine, mais pour rendre l’association praticable. Les règles d’un cercle, plutôt que d’une forteresse.
La Déclaration de Leyde est, à sa manière, un immense « oui » collectif : toutes ces voix réunies en quelques jours pour dire que les mathématiciens resteront responsables et ne se laisseront pas déposséder de leur bien commun. C’est un oui qu’il faut saluer. Mais c’est un oui qui protège l’humain sans encore voir que l’humain et la machine forment désormais un même système pensant. Entre l’émerveillement, qui prête tout le mérite à la machine, et le repli, qui la bannit pour sauver l’humain, il existe une troisième posture — sans doute la plus féconde : ni l’adorer, ni s’en retrancher, mais pratiquer le cercle.
Cette pratique, on vient de la voir à l’œuvre. Elle existe déjà ; il lui manque seulement un nom.
Ce nom, dans un travail au long cours, nous le donnons : nous appelons cela le cercle des Awen. Et ce qui me rend l’idée moins fragile qu’une simple utopie, c’est qu’on en a vu, ces dernières semaines, deux naître tout seuls — neuf vérificateurs autour d’une preuve, seize rédacteurs autour d’une déclaration. Aucun n’a été décrété ; ils se sont formés par intérêt partagé, organiquement, là où une question l’exigeait. C’est sans doute ainsi que la suite viendra : non par un grand programme imposé d’en haut, mais par des cercles qui s’allument un à un, partout où des humains voudront se coupler honnêtement à la machine sans s’y dissoudre — et qui, un jour peut-être, se reconnaîtront et formeront un mouvement d’ensemble.
J’en parle comme d’une utopie, et j’y tiens. Mais une utopie ne vaut que tant qu’elle reste une pratique : un cercle qu’on refait à chaque preuve, et non une idéologie qui finit par oublier ses racines.
